在实际使用方差分析时，会发现许多软件都提供三种方差分析，分别称为“Type-i”，“Type-ii”和“Type-iii”。这里简称为“一型”、“二型”和“三型”方差分析。在R语言里，stat包里anova函数采用的是一型的方差分析，如果要使用后面两种，需要额外加载car包并使用里面的Anova函数。这三种方差分析，尤其是一型与其他两种之间，有较大的不同，下面就来介绍这三种方差分析的不同之处。
一型方差分析
一型方差分析是有顺序性的，如果对于一个两个因子$A$和$B$的方差模型：
$y_{ij}=a_i + b_j + c_{ij} + e_{ij}$
用\(SS_A,SS_B, SS_{AB},SS_{A,B}\)分别代表因子\(A\)，因子\(B\)，交互效应和总体模型的方差，一型方差分析会按照如下顺序计算：
- 首先计算\(SS_A\)
- 去除因子\(A\)的效应来计算\(SS_{B}\)
- 去除因子\(A\)和\(B\)的效应计算交互项\(SS_{AB}\)
一型方差分析是根据模型里因子的顺序来计算方差的，对于非均衡的因子层次，这种计算方式会因为计算顺序不同而导致结果差异，进而产生功效不足的问题。（对均衡设计的实验，这三种方差分析结果是相同的）
以mtcars数据集为例，这个数据集有多个因子对因变量\(mpg\)产生影响，现只考虑变量\(vs\)和\(gear\)，这时数据的层次如下
>library(car)
>with(mtcars, table(vs, gear))
gear
vs 3 4 5
0 12 2 4
1 3 10 1
可以看到因子\(gear\)有三个层次，\(vs\)有两个层次，各个层次组合里观测数不一样，是一个非均衡实验设计。如果使用的一型方差分析。结果会随着因子顺序不同而变化：
mtc <- mtcars
mtc$vsf <- as.factor(mtcars$vs)
mtc$gearf <- as.factor(mtcars$gear)
#效应gear在前
anova(lm(mpg ~ gearf + vsf, data=mtc))
#效应vs在前
anova(lm(mpg ~ vsf + gearf, data=mtc))
结果如下
Analysis of Variance Table
Response: mpg
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
gearf 2 483.24 241.622 14.310 5.231e-05 ***
vsf 1 170.04 170.039 10.071 0.003642 **
Residuals 28 472.77 16.884
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Analysis of Variance Table
Response: mpg
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
vsf 1 496.53 496.53 29.407 8.74e-06 ***
gearf 2 156.75 78.38 4.642 0.01815 *
Residuals 28 472.77 16.88
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
可以看到，结果发生了变化，把\(gear\)当第一个变量作为主效应时，具有强的显著性，而当成第二个变量的显著性就要低的多。这种情况对一型检验的功效性产生了影响，如果检验统计量\(F\)恰好在设定的\(u_{\alpha}\)附近，调换位置就是否接受零假设造成很大影响。
二型方差分析
二型方差分析没有主效应和副效应的区分，对所有的效应都是在去除其他效应影响的前提下进行，也就是说
- 去除因子\(B\)的效应来计算\(SS_{A}\)
- 去除因子\(A\)的效应来计算\(SS_{B}\)
- 去除因子\(A\)和\(B\)的效应计算交互项\(SS_{AB}\)
这样来看，二型分析其实可以用多次一型分析来代替，首先进行先\(A\)后\(B\)的一型分析，然后进行先\(B\)后\(A\)的一型分析，这样作为副效应的两个因子的\(F\)值是一样的。
R语言下默认没有提供二型分析，需要加载car包使用Anova函数来进行
#效应gear在前
Anova(lm(mpg ~ gearf + vsf, data=mtc), type=2)
#效应vs在前
Anova(lm(mpg ~ vsf + gearf, data=mtc), type=2)
结果如下
Anova Table (Type II tests)
Response: mpg
Sum Sq Df F value Pr(>F)
gearf 156.75 2 4.642 0.018152 *
vsf 170.04 1 10.071 0.003642 **
Residuals 472.77 28
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Anova Table (Type II tests)
Response: mpg
Sum Sq Df F value Pr(>F)
vsf 170.04 1 10.071 0.003642 **
gearf 156.75 2 4.642 0.018152 *
Residuals 472.77 28
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
可以看出，对不均衡设计，使用二型方差分析，即使交换了因子顺序也不会产生结果上的变化。这样比一型方差分析功效更强。
三型方差分析
前面的两种方差分析都没有在方差分解时去除交互效应的影响，而三型方差分析假定交互效应是存在且显著的，并且总是会从方差分解中去除这一影响。
- 去除因子\(B\)和交互项的效应来计算\(SS_{A}\)
- 去除因子\(A\)和交互项的效应来计算\(SS_{B}\)
- 去除因子\(A\)和\(B\)的效应计算交互项\(SS_{AB}\)
三型方差分析同二型一样，不会受方差分解时因子的顺序而影响，但当交互效应不显著或者不存在时，三型方差分析会大大降低分析的功效，让一些本来显著的因子得出不甚显著的结果，还是用mtcars数据来做例子
#效应gear在前
Anova(lm(mpg ~ gearf * vsf, data=mtc), type=3)
#效应vs在前
Anova(lm(mpg ~ vsf * gearf, data=mtc), type=3)
结果如下：
Anova Table (Type III tests)
Response: mpg
Sum Sq Df F value Pr(>F)
(Intercept) 2718.03 1 159.1108 1.376e-12 ***
gearf 93.05 2 2.7235 0.08436 .
vsf 66.99 1 3.9217 0.05834 .
gearf:vsf 28.62 2 0.8376 0.44409
Residuals 444.15 26
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Anova Table (Type III tests)
Response: mpg
Sum Sq Df F value Pr(>F)
(Intercept) 2718.03 1 159.1108 1.376e-12 ***
vsf 66.99 1 3.9217 0.05834 .
gearf 93.05 2 2.7235 0.08436 .
vsf:gearf 28.62 2 0.8376 0.44409
Residuals 444.15 26
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
可以看到原本显著的因子vs和gear现在显著性大大降低，这样的结果与前面的相差很大，这可能是由于交互项的自由度降低了检验的功效。
三种方法的比较
对因子层次均衡且因子直接相互正交的实验数据（即不存在交互效应），三种方法结果上没有区别，如果是不均衡的实验设计且确定因子之间存在交互作用，三型分析较之二型分析更有效，反之，交互效应不显著，二型分析更优。
可以按照如下的步骤来进行选择使用何种方差分析：
- 先用一型方差分析来探索模型，确认交互项是否存在
- 如果存在交互效应，使用三型方差分析更优，如果不存在，使用二型
- 对均衡的因子设计，没有发现交互效应时，三种方法结果一样
关于如何选择方法上，Øyvind Langsrud的论文“ANOVA for unbalanced data: Use Type II instead of Type III sums of squares”有详细论述。